杆在固有振动中的对偶关系

发布时间：2024-03-12 04:47

　　本文研究线弹性均质材料杆的固有振动对偶问题,即两种杆在怎样的截面变化和齐次边界下具有相同固有频率.首先,通过纵向位移和内力的对偶描述,给出两种杆异截面对偶的截面变化条件和边界条件,并将其分类为固定-固定杆与自由-自由杆对偶,固定-自由杆与自由-固定杆对偶等.上述对偶杆具有相同固有频率,而两者的位移振型互为位置坐标的导数.其次,限定两种对偶杆的截面变化相同,给出杆的截面积函数表达式.此时,固定-固定杆与自由-自由杆构成同截面对偶,而固定-自由杆和自由-固定杆的同截面对偶彼此为镜像;等截面杆也具有上述对偶性质.最后,将上述研究推广到材料性质沿轴向变化的变截面杆固有振动对偶问题.文中所有结论均适用于圆轴在齐次边界条件下的扭转固有振动对偶问题.

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【部分图文】：

图1异截面对偶杆的位移振型

上述结果的正确性可通过将式(15)代入自由-自由杆b的动力学方程边值问题得以验证.图1中实线是α=2/L时异截面对偶杆的前三阶关于最大位移归一化振型,此时杆a的截面积左小右大,故振型幅值左高右低;而杆b的截面积变化相反,故振型幅值左低右高.作为参考,在图1中用虚线给出α=0时....

图2同截面对偶条件下的固定-固定杆a,

这表明,杆c和杆a具有相似的截面积变化规律,其差异仅是系数1/β.若将杆c的截面积乘以β得到自由-自由杆d,则杆d和杆c相似,具有相同固有振动.此时,固定-固定边界杆a与自由-自由杆d具有相同固有频率.由于固定-固定杆a与自由-自由杆d具有相同截面积,故称它们为同截面对偶(....

图3同截面对偶杆的位移振型

图3给出上述固定-固定杆和自由-自由杆的前三阶关于最大位移归一化的振型.其中,实线是α=2/L时变截面杆的振型,其镜像非对称,因为此时杆右端比左端粗.作为参考,在图3中用虚线给出α=0时等截面杆的振型,它们具有镜像对称性或反对称性.2.2对偶条件

图4同截面对偶条件下的固定-固定杆a,自由-自由杆b及其

容易验证式(28)满足条件(21).图4给出三种杆的截面积函数,即固定-固定杆a的截面积函数A(x),自由-自由杆b的截面积函数B?(x)=γA?(x),以及由杆b镜像得到的自由-自由杆c的截面积函数B^(x)=A(x)/β.再将杆c的截面积乘以β,得到....

本文编号：3926565