间断有限元方法的误差估计及超收敛分析
发布时间：2023-02-14 14:47
本文主要基于双曲及高阶导数方程研究了间断有限元(discontinuous Galerkin,DG)方法的误差分析包括先验误差估计,负模估计,超收敛分析等。主要分为以下几个方面:首先,考虑变系数薛定谔方程局部间断有限元(local discontinuous Galerkin,LDG)方法的误差估计及后处理。后处理技术是在数值计算的最后一步将数值解与一个光滑的样条核函数做卷积,从而提高数值解的光滑性及精度。后处理解的误差估计主要依赖于先验误差以及负模误差估计。为此先证明了 LDG格式有k+1阶的最优误差估计,然后通过构造对偶方程证明了负模误差有至少2k阶的精度,这里k是逼近空间多项式的最高次数。最后通过数值算例,包括一维线性方程、一维非线性方程、一维及二维的变系数方程来验证理论分析。虽然理论证明只是对于变系数的情形,但从数值结果可以看出对非线性方程后处理技术也可以提高数值解的精度。然后,针对高阶导数方程,基于LDG和超弱间断有限元(ultra-weak discon-tinuous Galerkin,UWDG)方法提出了一种超弱 LDG(ultra-weak local discont...
【文章页数】：170 页
【学位级别】：博士
【文章目录】：
摘要
ABSTRACT
第1章 绪论
1.1 间断有限元方法
1.1.1 DG方法
1.1.2 LDG方法
1.1.3 UWDG方法
1.1.4 ALE-DG方法
1.2 DG方法的误差估计及超收敛分析
1.2.1 误差估计
1.2.2 超收敛分析
1.3 本文工作
第2章 基础知识
2.1 常用记号
2.2 网格剖分
2.3 有限元空间
2.4 投影
2.4.1 L2投影
2.4.2 一维投影
2.4.3 二维投影
2.4.4 逆不等式
2.5 时间离散
2.5.1 Runge-Kutta方法
2.5.2 谱延迟修正方法
2.6 本章小结
第3章 薛定谔方程的LDG方法及后处理
3.1 引言
3.2 薛定谔方程的正则性
3.3 LDG格式
3.4 L2模误差估计
3.4.1 第一能量方程
3.4.2 第二能量方程
3.5 负模估计及后处理
3.5.1 SIAC滤波器
3.5.2 负模估计
3.6 数值算例
3.7 本章小结
第4章 高阶方程的UWLDG方法
4.1 引言
4.2 四阶方程
4.2.1 数值格式
4.2.2 稳定性分析
4.2.3 误差估计
4.3 五阶方程
4.3.1 数值格式
4.3.2 稳定性分析
4.3.3 误差估计
4.4 一维高阶方程的推广
4.4.1 六阶方程的推广
4.4.2 七阶方程的推广
4.4.3 一维任意高阶方程的推广
4.5 二维四阶方程的推广
4.5.1 数值格式
4.5.2 L2稳定性
4.5.3 误差分析
4.6 数值算例
4.7 本章小结
第5章 四阶线性方程UWLDG格式的超收敛性
5.1 引言
5.2 UWLDG格式
5.3 超收敛分析
5.3.1 插值函数的超收敛性
5.3.2 数值流通量及单元平均的超收敛
5.3.3 特殊积分点处的超收敛
5.4 数值算例
5.5 本章小结
第6章 四阶非线性波动方程的UWLDG格式
6.1 引言
6.2 UWLDG格式
6.3 能量守恒
6.4 误差估计
6.5 时间离散
6.6 数值算例
6.7 本章小结
第7章 线性双曲方程ALE-DG方法的超收敛性
7.1 引言
7.2 ALE-DG格式
7.2.1 网格设定
7.2.2 函数空间
7.2.3 投影及其性质
7.2.4 ALE-DG方法
7.3 修正函数
7.3.1 预备知识
7.3.2 修正函数的构造与分析
7.3.3 插值函数的构造与分析
7.4 超收敛
7.4.1 顺风点的超收敛
7.4.2 区域平均的超收敛
7.4.3 Radau点的超收敛
7.5 数值算例
7.6 本章小结
第8章 一维非线双曲方程ALE-DG格式的负模估计
8.1 引言
8.2 ALE-DG格式
8.3 负模误差估计
8.4 数值算例
8.5 本章小结
第9章 总结与展望
9.1 总结
9.2 展望
参考文献
致谢
在读期间发表的学术论文与取得的研究成果
本文编号：3742565
【文章页数】：170 页
【学位级别】：博士
【文章目录】：
摘要
ABSTRACT
第1章 绪论
1.1 间断有限元方法
1.1.1 DG方法
1.1.2 LDG方法
1.1.3 UWDG方法
1.1.4 ALE-DG方法
1.2 DG方法的误差估计及超收敛分析
1.2.1 误差估计
1.2.2 超收敛分析
1.3 本文工作
第2章 基础知识
2.1 常用记号
2.2 网格剖分
2.3 有限元空间
2.4 投影
2.4.1 L2投影
2.4.2 一维投影
2.4.3 二维投影
2.4.4 逆不等式
2.5 时间离散
2.5.1 Runge-Kutta方法
2.5.2 谱延迟修正方法
2.6 本章小结
第3章 薛定谔方程的LDG方法及后处理
3.1 引言
3.2 薛定谔方程的正则性
3.3 LDG格式
3.4 L2模误差估计
3.4.1 第一能量方程
3.4.2 第二能量方程
3.5 负模估计及后处理
3.5.1 SIAC滤波器
3.5.2 负模估计
3.6 数值算例
3.7 本章小结
第4章 高阶方程的UWLDG方法
4.1 引言
4.2 四阶方程
4.2.1 数值格式
4.2.2 稳定性分析
4.2.3 误差估计
4.3 五阶方程
4.3.1 数值格式
4.3.2 稳定性分析
4.3.3 误差估计
4.4 一维高阶方程的推广
4.4.1 六阶方程的推广
4.4.2 七阶方程的推广
4.4.3 一维任意高阶方程的推广
4.5 二维四阶方程的推广
4.5.1 数值格式
4.5.2 L2稳定性
4.5.3 误差分析
4.6 数值算例
4.7 本章小结
第5章 四阶线性方程UWLDG格式的超收敛性
5.1 引言
5.2 UWLDG格式
5.3 超收敛分析
5.3.1 插值函数的超收敛性
5.3.2 数值流通量及单元平均的超收敛
5.3.3 特殊积分点处的超收敛
5.4 数值算例
5.5 本章小结
第6章 四阶非线性波动方程的UWLDG格式
6.1 引言
6.2 UWLDG格式
6.3 能量守恒
6.4 误差估计
6.5 时间离散
6.6 数值算例
6.7 本章小结
第7章 线性双曲方程ALE-DG方法的超收敛性
7.1 引言
7.2 ALE-DG格式
7.2.1 网格设定
7.2.2 函数空间
7.2.3 投影及其性质
7.2.4 ALE-DG方法
7.3 修正函数
7.3.1 预备知识
7.3.2 修正函数的构造与分析
7.3.3 插值函数的构造与分析
7.4 超收敛
7.4.1 顺风点的超收敛
7.4.2 区域平均的超收敛
7.4.3 Radau点的超收敛
7.5 数值算例
7.6 本章小结
第8章 一维非线双曲方程ALE-DG格式的负模估计
8.1 引言
8.2 ALE-DG格式
8.3 负模误差估计
8.4 数值算例
8.5 本章小结
第9章 总结与展望
9.1 总结
9.2 展望
参考文献
致谢
在读期间发表的学术论文与取得的研究成果
本文编号：3742565
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